از x/√(5+x²)=−۲/۳، پس از مجذورگیری x²=4 به‌دست می‌آید. چون مقدار تابع منفی است، x=−2؛ بنابراین f⁻¹(−۲/۳)=−2. همچنین f(2√5)=2/√5 و √5f(2√5)=2 است؛ پس حاصل نهایی صفر و گزینهٔ A صحیح است. پاسخ ۴ در پاسخ‌نامهٔ چاپی ناشی از حذف علامت منفی است.

طبق راه‌حل تصویری، محل تقاطع خطوط به‌عنوان رأس دیگر تعیین شده و سپس نقطهٔ مقابل با استفاده از خاصیت نصف‌کردن قطرها محاسبه می‌شود. فاصلهٔ نهایی با رابطهٔ فیثاغورس √(4²+3²)=5 است.

با ضرب در مزدوج: √(n²+n)−n = n/[√(n²+n)+n] = 1/[√(1+1/n)+1]. حد عبارت برابر ۱/۲ است. در پاسخ‌نامهٔ تصویری عدد ۱ درج شده که خطای محاسباتی است.

در اطراف صفر، رفتار جزءصحیح از دو طرف یکسان نیست و حد دوسویهٔ تابع در صفر وجود ندارد؛ بنابراین هیچ مقداری برای a تابع را در x=0 پیوسته نمی‌کند و مجموعهٔ پاسخ تهی است.

با الگوی مشتق‌گیری حاصل‌ضرب، f⁽¹⁰⁾(x)=2¹⁰[5cos(2x)−xsin(2x)]. در x=π/2 داریم cosπ=−1 و sinπ=0؛ پس مقدار مشتق −5×2¹⁰ است.

از مشتق‌گیری ضمنی نسبت به y و جایگذاری x=−1، y=3 و z=2، مطابق محاسبات پاسخ‌نامه مقدار ∂z/∂y=۳/۲ به‌دست می‌آید.

مشتق نسبت به y برابر x²/(x²+y²)=cos²θ است. برای θ=π مقدار آن 1 می‌شود. در نسخهٔ چاپی عدد 1 میان گزینه‌ها وجود نداشت؛ برای قابل‌استفاده‌شدن تست، گزینهٔ A با پاسخ علمی صحیح جایگزین شده است.

شعاع نیم‌دایره ۳ است. فاصلهٔ مرکز سطح نیم‌دایره از قطر آن برابر 4r/(3π) است؛ بنابراین 4×3/(3π)=4/π و گزینهٔ A صحیح است. کلید چاپی این سؤال نادرست است.

1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1). مجموع تلسکوپی تا جملهٔ nام برابر 1−1/(n+1) است و حد آن در بی‌نهایت برابر 1 می‌شود.

با تغییر متغیر t=√x داریم dx=2t dt و کران بالا π/2 می‌شود. بنابراین انتگرال برابر 2∫₀^(π/2)t sin t dt =2[−t cos t+sin t]₀^(π/2)=2 است.

با مشتق‌گیری از arctan(u)، داریم f′=u′/(1+u²). پس از ساده‌سازی صورت و مخرج، نتیجه 2a/(1+4a²x²) می‌شود.

با بسط در صفر، e^(−x)+sin x = 1−x+x²/2+…+x−x³/6+… =1+x²/2+…. بنابراین لگاریتم حد برابر lim ln(1+x²/2+…)/x=0 است و خود حد e⁰=1 می‌شود.

اگر y=√(2x+5) باشد، آنگاه x=(y²−5)/2 و در x=2 داریم y=3. با تبدیل عبارت و مشتق‌گیری نسبت به y، مطابق محاسبهٔ پاسخ‌نامه مقدار نسبت تغییرات در y=3 برابر 1 است.

در پرتاب سه سکه 2³=8 حالت هم‌احتمال داریم. برای ظاهرشدن دقیقاً یک «رو»، انتخاب آن سکه به ۳ روش ممکن است؛ بنابراین احتمال ۳/۸ است.

تعداد انتخاب‌های مطلوب C(3,2)+C(4,2)=3+6=9 و کل انتخاب‌ها C(7,2)=21 است؛ پس احتمال ۹/۲۱=۳/۷ می‌شود.

مجموع فراوانی‌ها 16 و میانگین برابر (1×1+2×2+3×9+4×4)/16=3 است. بنابراین واریانس برابر [1(1−3)²+2(2−3)²+9(3−3)²+4(4−3)²]/16=10/16=5/8 است.

سهم درصدی برابر است با (۲۴/۳۶۰)×۱۰۰=۶/۶۶… درصد که تقریباً ۶/۷ درصد است.

تعداد افراز ۶ نفر به سه جفت بدون ترتیب برابر 6!/(2³×3!)=15 است. پاسخ‌نامه نیز از C(6,2)=15 برای انتخاب یک گروه دونفری استفاده کرده است.

جمع بزرگ‌تر از ۱۰ شامل ۱۱ و ۱۲ است. حالت‌های مطلوب (۵،۶)، (۶،۵) و (۶،۶)، یعنی ۳ حالت از ۳۶ حالت‌اند؛ پس احتمال ۳/۳۶=۱/۱۲ است.

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=3t²/(2t+1). سپس d²y/dx²=[d/dt(3t²/(2t+1))]/(2t+1). با قرار دادن t=1 مقدار ۲/۳ به‌دست می‌آید.

f(3)=9ln1=0 و f′(x)=2xln(x−2)+x²/(x−2)، پس f′(3)=9. معادلهٔ مماس y=9(x−3)=9x−27 است؛ بنابراین عرض از مبدأ −27 است.

با استفاده از 1+…+n=n(n+1)/2، عبارت برابر [n(n+1)−n(n+4)]/[2(n+4)]=−3n/[2(n+4)] است؛ حد آن −3/2 می‌شود.

عبارت داخل لگاریتم (1−h/2)^(1/h) است که حد آن e^(−1/2) می‌شود؛ بنابراین لگاریتم حد برابر −1/2 است.

در شاخهٔ نخست √x+1=6، پس √x=5 و x=25 که شرط x≥9 را دارد. در شاخهٔ دوم x−4=6، x=10 می‌شود که شرط x<9 را ندارد؛ بنابراین f⁻¹(6)=25.

از مشتق‌گیری ضمنی y+xy′−2x=0 داریم y′=(2x−y)/x. در نقطهٔ (1,2)، شیب مماس صفر است؛ پس خط قائم عمودی و موازی محور yهاست.

y′=(2−4x)e^(2x−2x²) و y″=e^(2x−2x²)[−4+(2−4x)²]. با صفر قرار دادن عامل داخل کروشه، x=0 یا x=1 به‌دست می‌آید. پاسخ‌نامه گزینهٔ x=0 را ثبت کرده است.

با مشتق‌گیری ضمنی، y′−cos(x+y)(1+y′)=0. پس y′=cos(x+y)/[1−cos(x+y)]. در (π,0)، cosπ=−1 و y′=−1/2 است.

اگر عدد را x بگیریم: ۵x/۹ − x/۲ = ۳. با مخرج مشترک ۱۸ داریم x/۱۸ = ۳؛ بنابراین x = ۵۴.

⁴√۴ = √۲ و ۲−√۲ = √۲(√۲−۱). پس حاصل برابر است با √۲ × [√۲(√۲−۱)/(√۲−۱)] = ۲.

چون a و b هر دو منفی‌اند و |a|>|b|، داریم a²>b². همچنین ab مثبت است و از a<b با ضرب در a<0 نتیجه می‌شود a²>ab. بنابراین a²<b² نادرست است.

فراوانی دسته برابر است با ۰/۱۸ × ۱۵۰ = ۲۷.

A−B={۲،۵،۷} و B−A={۱،۳،۴،۶} است. این دو مجموعه اشتراک ندارند؛ بنابراین اجتماع آن‌ها ۳+۴=۷ عضو دارد و گزینهٔ D صحیح است. عدد ۶ درج‌شده در پاسخ‌نامهٔ چاپی اشتباه است.

مقسوم‌علیه‌های مثبت ۳۳ عبارت‌اند از ۱، ۳، ۱۱ و ۳۳؛ بنابراین مجموع آن‌ها ۴۸ است.

۳/⁴√۲۷ را در ⁴√۳/⁴√۳ ضرب می‌کنیم: (۳×⁴√۳)/⁴√۸۱ = (۳×⁴√۳)/۳ = ⁴√۳.

از 2x−1=0 داریم x=۱/۲. طبق قضیهٔ باقیمانده: P(۱/۲)=8(۱/۲)³−4(۱/۲)²+6(۱/۲)=۱−۱+۳=۳.

با تجزیه داریم x²−x−2=(x−2)(x+1)، x²−1=(x−1)(x+1) و x²−x=x(x−1). پس همهٔ عوامل مشترک ساده می‌شوند و حاصل x است.

با قرار دادن n=۱۰ داریم U₁₀=(۲×۱۰+۱)/(۱۰²−۱)=۲۱/۹۹=۷/۳۳.

معادله به صورت 3x²+5x−2=0 است. اگر ریشه‌ها α و β باشند، ۱/α+۱/β=(α+β)/(αβ)=(-۵/۳)/(-۲/۳)=۵/۲.

x⁴−2x²+1=(x−1)²(x+1)² و x³+x²−x−1=(x−1)(x+1)²؛ پس ب.م.م برابر (x−1)(x+1)²=x³+x²−x−1 است. عبارت x(x²+ax−1)+1=x³+ax²−x+1 است؛ با تطبیق ضریب‌ها a=−1.

میانگین تبدیل خطی نیز به همان صورت تبدیل می‌شود: ȳ=2x̄−1=2(۳/۵)−1=۶.

درصد فراوانی نسبی برابر است با (۳۶/۱۵۰)×۱۰۰=۲۴ درصد.

زاویهٔ تند دیگر مثلث ۳۸ درجه است. مرکز وتر از هر سه رأس فاصلهٔ برابر دارد؛ در مثلث متساوی‌الساقین حاصل، زاویهٔ موردنظر دو برابر ۳۸ درجه و برابر ۷۶ درجه است. در پاسخ‌نامهٔ تصویری نیز یادداشت شده که صورت سؤال ابهام دارد.

رابطه را کامل مربع می‌کنیم: x²+(2y−1)²=0. مجموع دو مربع فقط وقتی صفر است که x=0 و 2y−1=0؛ پس y=۱/۲ و در نتیجه x+y=۱/۲.

با گویاکردن مخرج داریم 2/(1−√3)=−(1+√3). بنابراین میانگین دو عدد برابر [(1+√3)−(1+√3)]/2=0 است.

اگر f(x)=x/√(1+x²) باشد، از f(x)=f(x′) پس از مجذورگیری و ساده‌سازی، x²=x′² به‌دست می‌آید و با توجه به علامت تابع، x=x′؛ پس تابع یک‌به‌یک است. پاسخ‌نامه گزینهٔ چهارم را انتخاب کرده است.